《动手学深度学习》
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Adam

Adam 在 RMSProp 基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均 [1]。下面我们来介绍这个算法。

算法

Adam 使用了动量变量 \(\boldsymbol{v}_t\) 和 RMSProp 中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量 \(\boldsymbol{s}_t\)，并在时间步 0 将它们中每个元素初始化为 0。给定超参数 \(0 \leq \beta_1 < 1\)（算法作者建议设为 0.9），时间步 \(t\) 的动量变量 \(\boldsymbol{v}_t\) 即小批量随机梯度 \(\boldsymbol{g}_t\) 的指数加权移动平均：

\[\boldsymbol{v}_t \leftarrow \beta_1 \boldsymbol{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \boldsymbol{g}_t.\]

和 RMSProp 中一样，给定超参数 \(0 \leq \beta_2 < 1\)（算法作者建议设为 0.999）， 将小批量随机梯度按元素平方后的项 \(\boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t\) 做指数加权移动平均得到 \(\boldsymbol{s}_t\)：

\[\boldsymbol{s}_t \leftarrow \beta_2 \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t.\]

由于我们将 \(\boldsymbol{v}_0\) 和 \(\boldsymbol{s}_0\) 中的元素都初始化为 0， 在时间步 \(t\) 我们得到 \(\boldsymbol{v}_t = (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} \boldsymbol{g}_i\)。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 \((1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} = 1 - \beta_1^t\)。需要注意的是，当 \(t\) 较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如当 \(\beta_1 = 0.9\) 时，\(\boldsymbol{v}_1 = 0.1\boldsymbol{g}_1\)。为了消除这样的影响，对于任意时间步 \(t\)，我们可以将 \(\boldsymbol{v}_t\) 再除以 \(1 - \beta_1^t\)，从而使得过去各时间步小批量随机梯度权值之和为 1。这也叫做偏差修正。在 Adam 算法中，我们对变量 \(\boldsymbol{v}_t\) 和 \(\boldsymbol{s}_t\) 均作偏差修正：

\[\hat{\boldsymbol{v}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{v}_t}{1 - \beta_1^t},\]
\[\hat{\boldsymbol{s}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{s}_t}{1 - \beta_2^t}.\]

接下来，Adam 算法使用以上偏差修正后的变量 \(\hat{\boldsymbol{v}}_t\) 和 \(\hat{\boldsymbol{s}}_t\)，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整：

\[\boldsymbol{g}_t' \leftarrow \frac{\eta \hat{\boldsymbol{v}}_t}{\sqrt{\hat{\boldsymbol{s}}_t + \epsilon}},\]

其中 \(\eta\) 是学习率，\(\epsilon\) 是为了维持数值稳定性而添加的常数，例如 \(10^{-8}\)。和 Adagrad、RMSProp 以及 Adadelta 一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用 \(\boldsymbol{g}_t'\) 迭代自变量：

\[\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}_t'.\]

从零开始实现

我们按照算法中的公式实现 Adam。其中时间步 \(t\) 通过hyperparams参数传入adam函数。

In [1]:

%matplotlib inline
import gluonbook as gb
from mxnet import nd

features, labels = gb.get_data_ch7()

def init_adam_states():
    v_w, v_b = nd.zeros((features.shape[1], 1)), nd.zeros(1)
    s_w, s_b = nd.zeros((features.shape[1], 1)), nd.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
        s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.square()
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (s_bias_corr.sqrt() + eps)
    hyperparams['t'] += 1

使用学习率 \(0.01\) 的 Adam 来训练模型。

In [2]:

gb.train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels)

loss: 0.245704, 0.498545 sec per epoch
../_images/chapter_optimization_adam_3_1.svg

简洁实现

通过算法名称为“adam”的Trainer实例，我们便可在 Gluon 中使用 Adam 算法。

In [3]:

gb.train_gluon_ch7('adam', {'learning_rate': 0.01}, features, labels)

loss: 0.244511, 0.258557 sec per epoch
../_images/chapter_optimization_adam_5_1.svg

小结

  • Adam 在 RMSProp 基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。
  • Adam 使用了偏差修正。

练习

  • 调节学习率，观察并分析实验结果。
  • 有人说 Adam 是 RMSProp 与动量法的结合。想一想，这是为什么？

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参考文献

[1] Kingma, D. P., & Ba, J. (2014). Adam: A method for stochastic optimization. arXiv preprint arXiv:1412.6980.

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